Mas allá de Euclides

“¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?” fue el título de un artículo de 1967, que firmaba un matemático polaco, de origen judío lituano, Benoit Mandelbrot. Presentó al mundo, por primera vez, la idea de que era forzoso despedirse de que la naturaleza podía explicarse con figuras geométricas, tales como circunferencias, esferas, conos, en definitiva las figuras que planeó y estudió Euclides. Y en el artículo se podía leer que “las nubes no son en parte alguna esféricas, ni las montañas cónicas en ninguno de sus puntos, como en parte alguna es una costa circunferencia, ni plana una corteza en ninguno de sus puntos, y ni siquiera el rayo sigue en punto alguno una línea recta”. Este revolucionario matemático ha fallecido recientemente en Cambridge, Estados Unidos, a los 85 años de edad. A comienzos del siglo XX, Minkowski y Einstein introdujeron el espacio-tiempo relativista no euclidiano de cuatro dimensiones. Ya se podía hablar de espacios de cuatro, ocho, 10 ó 20 dimensiones. En general, de ‘n’ dimensiones, pero siendo siempre ‘n’ un número entero, jamás fraccionario y menos irracional. Pero con Mandelbrot las cosas han cambiado y se puede hablar de espacios con dimensiones fraccionarias, como por ejemplo 3/4 ó 7/5. Más todavía, se puede hablar de espacios con un número irracional de dimensiones, como log 3. Y a este tipo de objetos, Mandelbrot los llamó “fractales”, del latín, “fractus”, que significa irregular o interrumpido. Con anterioridad, varios matemáticos, como Gauss, Lobachevski, Bolyai o Riemann habían demostrado que la geometría de Euclides, que hemos estudiado todos, no era la única posible, desde el punto de vista de la lógica matemática. “¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?” fue el título de un artículo de 1967, que firmaba un matemático polaco, de origen judío lituano, Benoit Mandelbrot. Presentó al mundo, por primera vez, la idea de que era forzoso despedirse de que la naturaleza podía explicarse con figuras geométricas, tales como circunferencias, esferas, conos, en definitiva las figuras que planeó y estudió Euclides. Y en el artículo se podía leer que “las nubes no son en parte alguna esféricas, ni las montañas cónicas en ninguno de sus puntos, como en parte alguna es una costa circunferencia, ni plana una corteza en ninguno de sus puntos, y ni siquiera el rayo sigue en punto alguno una línea recta”. Este revolucionario matemático ha fallecido recientemente en Cambridge, Estados Unidos, a los 85 años de edad. A comienzos del siglo XX, Minkowski y Einstein introdujeron el espacio-tiempo relativista no euclidiano de cuatro dimensiones. Ya se podía hablar de espacios de cuatro, ocho, 10 ó 20 dimensiones. En general, de ‘n’ dimensiones, pero siendo siempre ‘n’ un número entero, jamás fraccionario y menos irracional. Pero con Mandelbrot las cosas han cambiado y se puede hablar de espacios con dimensiones fraccionarias, como por ejemplo 3/4 ó 7/5. Más todavía, se puede hablar de espacios con un número irracional de dimensiones, como log 3. Y a este tipo de objetos, Mandelbrot los llamó “fractales”, del latín, “fractus”, que significa irregular o interrumpido. Con anterioridad, varios matemáticos, como Gauss, Lobachevski, Bolyai o Riemann habían demostrado que la geometría de Euclides, que hemos estudiado todos, no era la única posible, desde el punto de vista de la lógica matemática.

Las curvas fractales se construyen a base de ramificaciones. Por ello los árboles se cuentan entre los objetos predilectos para los matemáticos con tendencias fractales. Los árboles son, ante todo, ramificaciones. El tronco se bifurca en grandes ramas de las que surgen otras ramas cada vez más pequeñas. Sólo hay que introducir en el ordenador el ángulo de bifurcación adecuado y hacer que lo aplique a escalas cada vez menores. Al cabo de algunas pocas iteraciones, el árbol de Mandelbrot ofrece un aspecto realista.

Se pueden obtener figuras fractales de alta complejidad mediante reiteración de una transformación geométrica simple, y modificaciones de poca monta en esa transformación arrastran cambios globales. Así un conjunto pequeño de información genética puede traer como consecuencia la aparición de formas complejas y ligeras modificaciones genéticas pueden dar lugar a notables metamorfosis. Dentro de estas nuevas ideas, en el año 2002, el británico Stephen Wolfram publicó un libro “A New Kind of Science”, en el que propuso una nueva concepción del mundo, no a base de leyes naturales sino mediante iteraciones de unidades elementales. En esta línea pensaba Mandelbrot en “reducir a reglas simples la complejidad del mundo”.

Los fractales ya se han aplicado al crecimiento de organismos marinos, como los corales y las esponjas. Se ha demostrado que la extensión de las ciudades modernas tiene una similitud con el crecimiento fractal y hasta en Medicina se han encontrado aplicaciones en el modelado de la actividad cerebral. Los fractales se encuentran en la vanguardia de explicar una serie de objetos naturales como son el crecimiento de las plantas, o la formación de las nubes.

Se habló de Matemáticas experimentales que nos liberaban de los duros razonamientos a base de definición, teorema y demostracion. Pero más tarde se impuso un regreso a los siempre duros rigores de la argumentación racional.

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